Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$2$ est la matrice carrée

$2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{2}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez

$0.3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$0.2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0.8 - λ & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.8 - λ) (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Développez

$(0.8 - λ) (0.7 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0.8 (0.7 - λ) - λ (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0.8 \cdot 0.7 + 0.8 (- λ) - λ (0.7 - λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0.8 \cdot 0.7 + 0.8 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.2.1.1

Multipliez

$0.8$ par

$0.7$ .

$p (λ) = 0.56 + 0.8 (- λ) - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$0.8$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - λ \cdot 0.7 - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2.1.3

Multipliez

$0.7$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - λ (- λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ + 1 λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = 0.56 - 0.8 λ - 0.7 λ + λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.2.2

Soustrayez

$0.7 λ$ de

$- 0.8 λ$ .

$p (λ) = 0.56 - 1.5 λ + λ^{2} - 0.2 \cdot 0.3$

Étape 1.5.2.1.3

Multipliez

$- 0.2$ par

$0.3$ .

$p (λ) = 0.56 - 1.5 λ + λ^{2} - 0.06$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez

$0.06$ de

$0.56$ .

$p (λ) = - 1.5 λ + λ^{2} + 0.5$

Étape 1.5.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 1.5 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1.5 λ + 0.5$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{2} - 1.5 λ + 0.5 = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.7.2

Remplacez les valeurs

$a = 1$ ,

$b = - 1.5$ et

$c = 0.5$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$λ$ .

$\frac{1.5 \pm \sqrt{{(- 1.5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 0.5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3

Simplifiez

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Étape 1.7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1.1

Élevez

$- 1.5$ à la puissance

$2$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 4 \cdot 1 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 1 \cdot 0.5$ .

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Étape 1.7.3.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 4 \cdot 0.5}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$0.5$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{2.25 - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.3

Soustrayez

$2$ de

$2.25$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{0.25}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.4

Réécrivez

$0.25$ comme

${0.5}^{2}$ .

$λ = \frac{1.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$λ = \frac{1.5 \pm 0.5}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$λ = \frac{1.5 \pm 0.5}{2}$

Étape 1.7.3.3

Simplifiez

$\frac{1.5 \pm 0.5}{2}$ .

$λ = \frac{3 \pm 1}{4}$

Étape 1.7.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = 1, \frac{1}{2}$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 1$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0.8 - 1 & 0.3 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Soustrayez

$1$ de

$0.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 - 0 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez

$0$ de

$0.3$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 - 0 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez

$0$ de

$0.2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez

$1$ de

$0.7$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 \\ 0.2 & - 0.3 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = 1$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.3}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0.2 & - 0.3 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & - 0.3 - 0.2 \cdot - 1.5 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 1.5 y = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1.5 y \\ y \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] - \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- \frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 (\frac{1}{2}) \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0.8 - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Pour écrire

$0.8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Associez

$0.8$ et

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{0.8 \cdot 2 - 1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.4.1

Multipliez

$0.8$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.6 - 1}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4.2

Soustrayez

$1$ de

$1.6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.6}{2} & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Divisez

$0.6$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 + 0 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez

$0.3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 + 0 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez

$0.2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Pour écrire

$0.7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Associez

$0.7$ et

$\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.7 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.7 \cdot 2 - 1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.11.1

Multipliez

$0.7$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{1.4 - 1}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11.2

Soustrayez

$1$ de

$1.4$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & \frac{0.4}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.12

Divisez

$0.4$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 \\ 0.2 & 0.2 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when

$λ = \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0.3 & 0.3 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{0.3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{0.3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.3}{0.3} & \frac{0.3}{0.3} & \frac{0}{0.3} \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 & 0.2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - 0.2 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0.2 - 0.2 \cdot 1 & 0 - 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1.5 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$